Question

6．已知三棱錐A-BCD的所有棱長都相等，若AB與平面α所成角等于$\frac{π}{3}$，則平面ACD與平面α所成角的正弦值的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$]
• B． [$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，1]

Answer 1

分析 由題意求出AB與平面ACD所成角的正弦值和余弦值，然后分類求出平面ACD與平面α所成角的正弦值的最小值與最大值得答案．

解答 解：∵三棱錐A-BCD的所有棱長都相等，
∴三棱錐A-BCD為正四面體，如圖：

設正四面體的棱長為2，取CD中點P，連接AP，BP，
則∠BAP為AB與平面ADC所成角．
AP=BP=$\sqrt{3}$，可得sin$∠BAP=\frac{\sqrt{6}}{3}$，cos∠BAP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
設∠BAP=θ．
當CD與α平行且AB在面ACD外時，平面ACD與平面α所成角的正弦值最小，
為sin（$\frac{π}{3}-θ$）=sin$\frac{π}{3}cosθ$$-cos\frac{π}{3}sinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{3-\sqrt{6}}{6}$；
當CD與α平行且AB在面ACD內時，平面ACD與平面α所成角的正弦值最大，
為sin（$\frac{π}{3}+θ$）=sin$\frac{π}{3}cosθ+$cos$\frac{π}{3}sinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}$．
∴平面ACD與平面α所成角的正弦值的取值范圍是[$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$]．
故選：A．

點評 本題考查二面角的平面角及其求法，考查數形結合的解題思想方法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．