Question

5．已知定點F（2，0），定直線l：x=$\frac{1}{2}$，動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍，設點P的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）若F₁（-2，0），直線l₁：y=x+t，t∈（-1，1）與曲線E交于C、D兩點，求四邊形F₁CFD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用點到直線的距離公式及點到直線的距離公式，即可整理即可求得E的方程；
（2）將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得丨CD丨，根據點到直線的距離公式，由絕對值的幾何意義及二次函數的性質，即可求得四邊形F₁CFD面積的最小值．

解答 解：（1）設P（x，y），P到F的距離d=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，P到定直線l：x=$\frac{1}{2}$的距離為丨x-$\frac{1}{2}$丨，
由題意可知：$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=2丨x-$\frac{1}{2}$丨，整理得：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（y≠0）
∴E的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（y≠0）；
（2）由（1）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：2x²-2xt-（t²+3）=0，
x₁+x₂=t，x₁+x₂=-$\frac{{t}^{2}+3}{2}$，
則丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{3{t}^{2}+6}$，
F₁（-2，0）到直線y=x+t的距離d₁=$\frac{丨-2+t丨}{\sqrt{2}}$，F（2，0）到y=x+t的距離d₂=$\frac{丨2+t丨}{\sqrt{2}}$，
四邊形F₁CFD面積S=$\frac{1}{2}$×丨CD×丨（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$$\sqrt{3{t}^{2}+6}$×（$\frac{丨-2+t丨}{\sqrt{2}}$+$\frac{丨2+t丨}{\sqrt{2}}$）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3{t}^{2}+6}$（丨t-2丨+丨t+2丨），t∈（-1，1），
由當t∈（-1，1），丨t-2丨+丨t+2丨=4，
∴S=2$\sqrt{3{t}^{2}+6}$，t∈（-1，1），
∴當t=0時，S取最小值，最小值為2$\sqrt{6}$，
四邊形F₁CFD面積的最小值2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查雙曲線的軌跡方程，直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，絕對值的幾何意義，考查計算能力，屬于中檔題．