Question

17．設O為坐標原點，動點M在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{NM}$．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點Q在直線x=-3上，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PQ}$=1．證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．

Answer 1

分析 （1）設M（x₀，y₀），由題意可得N（x₀，0），設P（x，y），運用向量的坐標運算，結合M滿足橢圓方程，化簡整理可得P的軌跡方程；
（2）設Q（-3，m），P（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），（0≤α＜2π），運用向量的數量積的坐標表示，可得m，即有Q的坐標，求得橢圓的左焦點坐標，求得OQ，PF的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得證．

解答 解：（1）設M（x₀，y₀），由題意可得N（x₀，0），
設P（x，y），由點P滿足$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{NM}$．
可得（x-x₀，y）=$\sqrt{2}$（0，y₀），
可得x-x₀=0，y=$\sqrt{2}$y₀，
即有x₀=x，y₀=$\frac{y}{\sqrt{2}}$，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
即有點P的軌跡方程為圓x²+y²=2；
（2）證明：設Q（-3，m），P（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），（0≤α＜2π），
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PQ}$=1，可得（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）•（-3-$\sqrt{2}$cosα，m-$\sqrt{2}$sinα）=1，
即為-3$\sqrt{2}$cosα-2cos²α+$\sqrt{2}$msinα-2sin²α=1，
解得m=$\frac{3（1+\sqrt{2}cosα）}{\sqrt{2}sinα}$，
即有Q（-3，$\frac{3（1+\sqrt{2}cosα）}{\sqrt{2}sinα}$），
橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦點F（-1，0），
由$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{OQ}$=（-1-$\sqrt{2}$cosα，-$\sqrt{2}$sinα）•（-3，$\frac{3（1+\sqrt{2}cosα）}{\sqrt{2}sinα}$）
=3+3$\sqrt{2}$cosα-3（1+$\sqrt{2}$cosα）=0．
可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用坐標轉移法和向量的加減運算，考查圓的參數方程的運用和直線的斜率公式，以及向量的數量積的坐標表示和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．