Question

6．已知函數f（x）=x²+2cosx，g（x）=e^x（cosx-sinx+2x-2），其中e≈2.71828…是自然對數的底數．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）-a f（x）（a∈R），討論h（x）的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值．

Answer 1

分析 （I）f（π）=π²-2．f′（x）=2x-2sinx，可得f′（π）=2π即為切線的斜率，利用點斜式即可得出切線方程．
（II）h（x）=g （x）-a f（x）=e^x（cosx-sinx+2x-2）-a（x²+2cosx），可得h′（x）=2（x-sinx）（e^x-a）=2（x-sinx）（e^x-e^lna）．令u（x）=x-sinx，則u′（x）=1-cosx≥0，可得函數u（x）在R上單調遞增．
由u（0）=0，可得x＞0時，u（x）＞0；x＜0時，u（x）＜0．
對a分類討論：a≤0時，0＜a＜1時，當a=1時，a＞1時，利用導數研究函數的單調性極值即可得出．

解答 解：（I）f（π）=π²-2．f′（x）=2x-2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程為：y-（π²-2）=2π（x-π）．
化為：2πx-y-π²-2=0．
（II）h（x）=g （x）-a f（x）=e^x（cosx-sinx+2x-2）-a（x²+2cosx）
h′（x）=e^x（cosx-sinx+2x-2）+e^x（-sinx-cosx+2）-a（2x-2sinx）
=2（x-sinx）（e^x-a）=2（x-sinx）（e^x-e^lna）．
令u（x）=x-sinx，則u′（x）=1-cosx≥0，∴函數u（x）在R上單調遞增．
∵u（0）=0，∴x＞0時，u（x）＞0；x＜0時，u（x）＜0．
（1）a≤0時，e^x-a＞0，∴x＞0時，h′（x）＞0，函數h（x）在（0，+∞）單調遞增；
x＜0時，h′（x）＜0，函數h（x）在（-∞，0）單調遞減．
∴x=0時，函數h（x）取得極小值，h（0）=-1-2a．
（2）a＞0時，令h′（x）=2（x-sinx）（e^x-e^lna）=0．
解得x₁=lna，x₂=0．
①0＜a＜1時，x∈（-∞，lna）時，e^x-e^lna＜0，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增；
x∈（lna，0）時，e^x-e^lna＞0，h′（x）＜0，函數h（x）單調遞減；
x∈（0，+∞）時，e^x-e^lna＞0，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增．
∴當x=0時，函數h（x）取得極小值，h（0）=-2a-1．
當x=lna時，函數h（x）取得極大值，h（lna）=-a[ln²a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
②當a=1時，lna=0，x∈R時，h′（x）≥0，∴函數h（x）在R上單調遞增．
③1＜a時，lna＞0，x∈（-∞，0）時，e^x-e^lna＜0，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增；
x∈（0，lna）時，e^x-e^lna＜0，h′（x）＜0，函數h（x）單調遞減；
x∈（lna，+∞）時，e^x-e^lna＞0，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增．
∴當x=0時，函數h（x）取得極大值，h（0）=-2a-1．
當x=lna時，函數h（x）取得極小值，h（lna）=-a[ln²a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
綜上所述：a≤0時，函數h（x）在（0，+∞）單調遞增；x＜0時，函數h（x）在（-∞，0）單調遞減．
x=0時，函數h（x）取得極小值，h（0）=-1-2a．
0＜a＜1時，函數h（x）在x∈（-∞，lna），（0，+∞）是單調遞增；函數h（x）在x∈（lna，0）上單調遞減．當x=0時，函數h（x）取得極小值，h（0）=-2a-1．當x=lna時，函數h（x）取得極大值，h（lna）=-a[ln²a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
當a=1時，lna=0，函數h（x）在R上單調遞增．
a＞1時，函數h（x）在（-∞，0），（lna，+∞）上單調遞增；函數h（x）在（0，lna）上單調遞減．當x=0時，函數h（x）取得極大值，h（0）=-2a-1．當x=lna時，函數h（x）取得極小值，h（lna）=-a[ln²a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、方程的解法、不等式的解法、三角函數求值、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．