Question

1．若函數e^xf（x）（e≈2.71828…是自然對數的底數）在f（x）的定義域上單調遞增，則稱函數f（x）具有M性質．下列函數中所有具有M性質的函數的序號為①④．
①f（x）=2^-x   ②f（x）=3^-x       ③f（x）=x³  ④f（x）=x²+2．

Answer 1

分析 把①②代入e^xf（x），變形為指數函數判斷；把③④代入e^xf（x），求導數判斷．

解答 解：對于①，f（x）=2^-x，則g（x）=e^xf（x）=${e}^{x}•{2}^{-x}=（\frac{e}{2}）^{x}$為實數集上的增函數；
對于②，f（x）=3^-x，則g（x）=e^xf（x）=${e}^{x}•{3}^{-x}=（\frac{e}{3}）^{x}$為實數集上的減函數；
對于③，f（x）=x³，則g（x）=e^xf（x）=e^x•x³，
g′（x）=e^x•x³+3e^x•x²=e^x（x³+3x²）=e^x•x²（x+3），當x＜-3時，g′（x）＜0，
∴g（x）=e^xf（x）在定義域R上先減后增；
對于④，f（x）=x²+2，則g（x）=e^xf（x）=e^x（x²+2），
g′（x）=e^x（x²+2）+2xe^x=e^x（x²+2x+2）＞0在實數集R上恒成立，
∴g（x）=e^xf（x）在定義域R上是增函數．
∴具有M性質的函數的序號為①④．
故答案為：①④．

點評 本題考查函數單調性的性質，訓練了利用導數研究函數的單調性，是中檔題．