Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，離心率為$\sqrt{2}$．若經過F和P（0，4）兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 由雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=±x，根據直線的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得雙曲線方程．

解答 解：設雙曲線的左焦點F（-c，0），離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$a，
則雙曲線為等軸雙曲線，即a=b，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x=±x，
則經過F和P（0，4）兩點的直線的斜率k=$\frac{4-0}{0+c}$=$\frac{4}{c}$，
則$\frac{4}{c}$=1，c=4，則a=b=2$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
故選B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，等軸雙曲線的應用，屬于中檔題．