Question

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{21}$，求線段AH的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點F，連接MF、NF，由已知可證MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．求出平面MEN與平面CME的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，進一步求得正弦值；
（Ⅲ）設AH=t，則H（0，0，t），求出$\overrightarrow{NH}、\overrightarrow{BE}$的坐標，結合直線NH與直線BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{21}$列式求得線段AH的長．

解答 （Ⅰ）證明：取AB中點F，連接MF、NF，
∵M為AD中點，∴MF∥BD，
∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N為BC中點，∴NF∥AC，
又D、E分別為AP、PC的中點，∴DE∥AC，則NF∥DE．
∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），
則$\overrightarrow{MN}=（1，2，-1）$，$\overrightarrow{ME}=（0，2，1）$，
設平面MEN的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{m}=（4，-1，2）$．
由圖可得平面CME的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{4}{\sqrt{21}×1}=\frac{4\sqrt{21}}{21}$．
∴二面角C-EM-N的余弦值為$\frac{4\sqrt{21}}{21}$，則正弦值為$\frac{\sqrt{105}}{21}$；
（Ⅲ）解：設AH=t，則H（0，0，t），$\overrightarrow{NH}=（-1，-2，t）$，$\overrightarrow{BE}=（-2，2，2）$．
∵直線NH與直線BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{21}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{NH}，\overrightarrow{BE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{NH}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{NH}||\overrightarrow{BE}|}$|=|$\frac{2t-2}{\sqrt{5+{t}^{2}}×2\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{7}}{21}$．
解得：t=$\frac{8}{5}$或t=$\frac{1}{2}$．
∴當H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{21}$，此時線段AH的長為$\frac{8}{5}$或$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求解空間角，考查計算能力，是中檔題．