Question

13．若函數$f（x）=\frac{4x}{x+4}{，_{\;}}且{x_1}=1，{x_{n+1}}=f（{x_n}）$，則x₂₀₁₇=$\frac{1}{505}$．

Answer 1

分析 根據數列的遞推關系，構造數列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}，得到數列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是等差數列，結合等差數列的通項公式進行求解即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{4x}{x+4}{，_{\;}}且{x_1}=1，{x_{n+1}}=f（{x_n}）$，
∴x_n+1=$\frac{4{x}_{n}}{{x}_{n}+4}$，
則$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{{x}_{n}+4}{4{x}_{n}}$=$\frac{1}{{x}_{n}}$+$\frac{1}{4}$，
即$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，
則數列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是公差d=$\frac{1}{4}$的等差數列，首項為1，
則$\frac{1}{{x}_{n}}$=1+$\frac{1}{4}$（n-1），
則$\frac{1}{{x}_{2017}}$=1+$\frac{1}{4}×2016$=1+504=505，
則x₂₀₁₇=$\frac{1}{505}$，
故答案為：$\frac{1}{505}$

點評 本題主要考查遞推數列的應用，根據條件構造等差數列是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．