Question

8．設函數(shù)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若對任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤k（k≥0），則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“k度和諧函數(shù)”，[a，b]稱為“k度密切區(qū)間”．設函數(shù)f（x）=lnx與$g（x）=\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“e度和諧函數(shù)”，則m的取值范圍是-1≤m≤1+e．

Answer 1

分析 由“e度和諧函數(shù)”，得到對任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]，都有|f（x）-g（x）|≤e，化簡整理得m-e≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+e，令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m-e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“e度和諧函數(shù)”，
∴對任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]，都有|f（x）-g（x）|≤e，
即有|lnx+$\frac{1}{x}$-m|≤e，即m-e≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+e，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$≤x≤e），h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x＞1時，h′（x）＞0，x＜1時，h′（x）＜0，
x=1時，h（x）取極小值1，也為最小值，
故h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值是1，最大值是e-1．
∴m-e≤1且m+e≥e-1，
∴-1≤m≤e+1．
故答案為：-1≤m≤1+e

點評 本題考查新定義及運用，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，注意運用導數(shù)求解，是一道中檔題．