Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，且x₁＜x₂，若x₁+2x₀=3x₂，函數(shù)g（x）=f（x）-f（x₀），則g（x）（　　）

• A． 恰有一個(gè)零點(diǎn)
• B． 恰有兩個(gè)零點(diǎn)
• C． 恰有三個(gè)零點(diǎn)
• D． 至多兩個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析 由題意可知：x₁、x₂是方程3x²+2ax+b=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2}{3}a$，x₁x₂=$\frac{b}{3}$，由x₁+2x₀=3x₂，x₀=$\frac{3{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$＞0，令f（x₁）=f（x）的另一個(gè)解為m，即可求得m=-a-2x₁，則f（x）=f（m）=f（x₀），

解答 解：f（x）=x³+ax²+bx，求導(dǎo)，f′（x）=3x²+2ax+b，由函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，
則x₁、x₂是方程3x²+2ax+b=0的兩個(gè)根，則x₁+x₂=-$\frac{2}{3}a$，x₁x₂=$\frac{b}{3}$，
∴a=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$，①
由x₁+2x₀=3x₂，則x₀=$\frac{3{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=x₂+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$＞x₂，
由函數(shù)圖象可知：令f（x₁）=f（x）的另一個(gè)解為m，
則x³+ax²+bx-f（x₁）=（x-x₁）²（x-m），
則$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}+m=-a}\\{2{x}_{1}m+{x}_{1}^{2}=b}\end{array}\right.$，則m=-a-2x₁，
將①代入②整理得：m=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$-2x₁=$\frac{3{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=x₀，∴f（x）=f（m）=f（x₀），
∴g（x）只有兩個(gè)零點(diǎn)，即x₀和m，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查韋達(dá)定理，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．