Question

7．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的兩個焦點F₁、F₂，其一條漸近線方程y=x，若P（m，1）在雙曲線上，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 利用雙曲線的漸近線方程求出k，得到雙曲線方程，然后求解P的坐標，求出焦點坐標，然后求解向量的數量積．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的兩個焦點F₁、F₂，其一條漸近線方程y=x，
可得k=2，若P（m，1）在雙曲線上，可知：m²-1=2，m=$±\sqrt{3}$，
由雙曲線的對稱性，不妨取P（$\sqrt{3}$，1），
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的兩個焦點F₁（-2，0），F₂（2，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-$\sqrt{3}$，-1）（2-$\sqrt{3}$，-1）=-（4-3）+1=0．
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值為0．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，向量的數量積，考查計算能力．