Question

19．在平面直角坐標系xOy中，A（-12，0），B（0，6），點P在圓O：x²+y²=50上．若$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是[-5$\sqrt{2}$，1]．

Answer 1

分析 根據題意，設P（x₀，y₀），由數量積的坐標計算公式化簡變形可得2x₀+y₀+5≤0，分析可得其表示表示直線2x+y+5≤0以及直線下方的區域，聯立直線與圓的方程可得交點的橫坐標，結合圖形分析可得答案．

解答 解：根據題意，設P（x₀，y₀），則有x₀²+y₀²=50，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（-12-x₀，-y₀）•（-x₀，6-y₀）=（12+x₀）x₀-y₀（6-y₀）=12x₀+6y+x₀²+y₀²≤20，
化為：12x₀-6y₀+30≤0，
即2x₀-y₀+5≤0，表示直線2x-y+5=0以及直線上方的區域，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=50}\\{2{x}_{0}-{y}_{0}+5=0}\end{array}\right.$，解可得x₀=-5或x₀=1，
結合圖形分析可得：點P的橫坐標x₀的取值范圍是[-5$\sqrt{2}$，1]，
故答案為：[-5$\sqrt{2}$，1]．

點評 本題考查數量積的運算以及直線與圓的位置關系，關鍵是利用數量積化簡變形得到關于x₀、y₀的關系式．