Question

4．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ²）．
（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查．
（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；
（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

經(jīng)計算得$\overline{x}$=$\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}{x_i}$=9.97，s=$\sqrt{\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}（\sum_{i=1}^{16}{{x}_{i}}^{2}-16{\overline{x}}^{2}）}$≈0.212，其中x_i為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用樣本平均數(shù)$\overline{x}$作為μ的估計值$\hat μ$，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值$\hat σ$，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ（精確到0.01）．
附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ²），則P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974¹⁶≈0.9592，$\sqrt{0.008}$≈0.09．

Answer 1

分析 （1）通過P（X=0）可求出P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408，利用二項分布的期望公式計算可得結(jié)論；
（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ-3σ，μ+3σ）之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理；
（ⅱ）通過樣本平均數(shù)$\overline{x}$、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計$\hat μ$、$\hat σ$可知（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）=（9.334，10.606），進而需剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的數(shù)據(jù)9.22，利用公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由題可知尺寸落在（μ-3σ，μ+3σ）之內(nèi)的概率為0.9974，
則落在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率為1-0.9974=0.0026，
因為P（X=0）=${C}_{16}^{0}$×（1-0.9974）⁰×0.9974¹⁶≈0.9592，
所以P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408，
又因為X～B（16，0.0026），
所以E（X）=16×0.0026=0.0416；
（2）（ⅰ）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．
（ⅱ）由$\overline{x}$=9.97，s≈0.212，得μ的估計值為$\hat μ$=9.97，σ的估計值為$\hat σ$=0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出一個
零件的尺寸在（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查．
剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
$\frac{1}{15}$（16×9.97-9.22）=10.02，
因此μ的估計值為10.02．
$\sum_{i=1}^{16}{x_i}$²=16×0.212²+16×9.97²≈1591.134，
剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為
$\frac{1}{15}$（1591.134-9.22²-15×10.02²）≈0.008，
因此σ的估計值為$\sqrt{0.008}$≈0.09．

點評 本題考查正態(tài)分布，考查二項分布，考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計算，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．