Question

10．在直角坐標系xOy中，曲線y=x²+mx-2與x軸交于A、B兩點，點C的坐標為（0，1），當m變化時，解答下列問題：
（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
（2）證明過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線y=x²+mx-2與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），運用韋達定理，再假設(shè)AC⊥BC，運用直線的斜率之積為-1，即可判斷是否存在這樣的情況；
（2）設(shè)過A、B、C三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），由題意可得D=m，F(xiàn)=-2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圓在y軸的交點，進而得到弦長為定值．

解答 解：（1）曲線y=x²+mx-2與x軸交于A、B兩點，
可設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
由韋達定理可得x₁x₂=-2，
若AC⊥BC，則k_AC•k_BC=-1，
即有$\frac{1-0}{0-{x}_{1}}$•$\frac{1-0}{0-{x}_{2}}$=-1，
即為x₁x₂=-1這與x₁x₂=-2矛盾，
故不出現(xiàn)AC⊥BC的情況；
（2）證明：設(shè)過A、B、C三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），
由題意可得y=0時，x²+Dx+F=0與x²+mx-2=0等價，
可得D=m，F(xiàn)=-2，
圓的方程即為x²+y²+mx+Ey-2=0，
由圓過C（0，1），可得0+1+0+E-2=0，可得E=1，
則圓的方程即為x²+y²+mx+y-2=0，
另解：設(shè)過A、B、C三點的圓在y軸上的交點為H（0，d），
則由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，
即有2=|OH|，
再令x=0，可得y²+y-2=0，
解得y=1或-2．
即有圓與y軸的交點為（0，1），（0，-2），
則過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值3．

點評 本題考查直線與圓的方程的求法，注意運用韋達定理和直線的斜率公式，以及待定系數(shù)法，考查方程思想和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．