Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|．
（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，f（x）=-x²+x+4，g（x）=|x+1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞1}\\{2，-1≤x≤1}\\{-2x，x＜-1}\end{array}\right.$，分x＞1、x∈[-1，1]、x∈（-∞，-1）三類討論，結(jié)合g（x）與f（x）的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）≥g（x）的解集為[-1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$]；
（2）依題意得：-x²+ax+4≥2在[-1，1]恒成立?x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}{{1}^{2}-a•1-2≤0}\\{{（-1）}^{2}-a（-1）-2≤0}\end{array}\right.$，解之即可得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=-x²+x+4，是開口向下，對稱軸為x=$\frac{1}{2}$的二次函數(shù)，
g（x）=|x+1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞1}\\{2，-1≤x≤1}\\{-2x，x＜-1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，令-x²+x+4=2x，解得x=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴此時f（x）≥g（x）的解集為（1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$]；
當(dāng)x∈[-1，1]時，g（x）=2，f（x）≥f（-1）=2．
當(dāng)x∈（-∞，-1）時，g（x）單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增，且g（-1）=f（-1）=2．
綜上所述，f（x）≥g（x）的解集為[-1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$]；
（2）依題意得：-x²+ax+4≥2在[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，則只需$\left\{\begin{array}{l}{{1}^{2}-a•1-2≤0}\\{{（-1）}^{2}-a（-1）-2≤0}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤1，
故a的取值范圍是[-1，1]．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，去掉絕對值符號是關(guān)鍵，考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．