Question

5．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，則λ+μ的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，先求出圓的標準方程，再設點P的坐標為（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2），根據$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，求出λ，μ，根據三角函數的性質即可求出最值．

解答 解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，
則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，
設圓的半徑為r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{1}{2}$BD•r，
∴r=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=$\frac{4}{5}$，
設點P的坐標為（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，
∴（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1=λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值為3，
故選：A

點評 本題考查了向量的坐標運算以及圓的方程和三角函數的性質，關鍵是設點P的坐標，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．