Question

14．如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10$\sqrt{7}$cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E₁G₁的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）
（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側棱CC₁上，求l沒入水中部分的長度；
（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側棱GG₁上，求l沒入水中部分的長度．

Answer 1

分析 （1）設玻璃棒在CC₁上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，過N作NP∥MC，交AC于點P，推導出CC₁⊥平面ABCD，CC₁⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推導出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l沒入水中部分的長度．
（2）設玻璃棒在GG₁上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，過點N作NP⊥EG，交EG于點P，過點E作EQ⊥E₁G₁，交E₁G₁于點Q，推導出EE₁G₁G為等腰梯形，求出E₁Q=24cm，E₁E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=$\frac{3}{5}$，由此能求出玻璃棒l沒入水中部分的長度．

解答 解：（1）設玻璃棒在CC₁上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，
在平面ACM中，過N作NP∥MC，交AC于點P，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，∴CC₁⊥平面ABCD，
又∵AC?平面ABCD，∴CC₁⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM²=AC²+MC²，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{NP}{MC}$，$\frac{AN}{40}=\frac{12}{30}$，得AN=16cm．
∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm．
（2）設玻璃棒在GG₁上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，
在平面E₁EGG₁中，過點N作NP⊥EG，交EG于點P，
過點E作EQ⊥E₁G₁，交E₁G₁于點Q，
∵EFGH-E₁F₁G₁H₁為正四棱臺，∴EE₁=GG₁，EG∥E₁G₁，
EG≠E₁G₁，
∴EE₁G₁G為等腰梯形，畫出平面E₁EGG₁的平面圖，
∵E₁G₁=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E₁Q=24cm，
由勾股定理得：E₁E=40cm，
∴sin∠EE₁G₁=$\frac{4}{5}$，sin∠EGM=sin∠EE₁G₁=$\frac{4}{5}$，cos$∠EGM=-\frac{3}{5}$，
根據正弦定理得：$\frac{EM}{sin∠EGM}$=$\frac{EG}{sin∠EMG}$，∴sin$∠EMG=\frac{7}{25}$，cos$∠EMG=\frac{24}{25}$，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=$\frac{3}{5}$，
∴EN=$\frac{NP}{sin∠GEM}$=$\frac{12}{\frac{3}{5}}$=20cm．
∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm．

點評 本題考查玻璃棒l沒入水中部分的長度的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．