Question

6．已知F為拋物線C：y²=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，直線l₁與C交于A、B兩點，直線l₂與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（　�。�

• A． 16
• B． 14
• C． 12
• D． 10

Answer 1

分析 方法一：根據題意可判斷當A與D，B，E關于x軸對稱，即直線DE的斜率為1，|AB|+|DE|最小，根據弦長公式計算即可．
方法二：設出兩直線的傾斜角，利用焦點弦的弦長公式分別表示出|AB|，|DE|，整理求得答案

解答 解：如圖，l₁⊥l₂，直線l₁與C交于A、B兩點，
直線l₂與C交于D、E兩點，
要使|AB|+|DE|最小，
則A與D，B，E關于x軸對稱，即直線DE的斜率為1，
又直線l₂過點（1，0），
則直線l₂的方程為y=x-1，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，則y²-4y-4=0，
∴y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
∴|DE|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{32}$=8，
∴|AB|+|DE|的最小值為2|DE|=16，
方法二：設直線l₁的傾斜角為θ，則l₂的傾斜角為 $\frac{π}{2}$+θ，
根據焦點弦長公式可得|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$
|DE|=$\frac{2p}{si{n}^{2}（\frac{π}{2}-θ）}$=$\frac{2p}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$
∴|AB|+|DE|=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$=$\frac{16}{si{n}^{2}2θ}$，
∵0＜sin²2θ≤1，
∴當θ=45°時，|AB|+|DE|的最小，最小為16，
故選：A

點評 本題考查了拋物線的簡單性質以及直線和拋物線的位置關系，弦長公式，對于過焦點的弦，能熟練掌握相關的結論，解決問題事半功倍屬于中檔題．