Question

19．已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m，n∈N^*，n≥2），這些球除顏色外全部相同．現將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1，2，3，…，m+n的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜（k=1，2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（1）試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p；
（2）隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E（X）是X的數學期望，證明E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

Answer 1

分析 （1）設事件A_i表示編號為i的抽屜里放的是黑球，則p=p（A₂）=P（A₂|A₁）P（A₁）+P（A₂|$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{1}}$），由此能求出編號為2的抽屜內放的是黑球的概率．
（2）X的所有可能取值為$\frac{1}{n}，\frac{1}{n+1}$，…，$\frac{1}{n+m}$，P（x=$\frac{1}{k}$）=$\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{m+n}^{n}}$，k=n，n+1，n+2，…，n+m，從而E（X）=$\sum_{k=1}^{n+m}$（$\frac{1}{k}•\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{n+m}^{n}}$）=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$，由此能證明E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

解答 解：（1）設事件A_i表示編號為i的抽屜里放的是黑球，
則p=p（A₂）=P（A₂|A₁）P（A₁）+P（A₂|$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{1}}$）
=$\frac{n-1}{m+n-1}×\frac{n}{m+n}+\frac{n}{m+n-1}×\frac{m}{m+n}$
=$\frac{{n}^{2}-n+mn}{（m+n）（m+n-1）}$=$\frac{n}{m+n}$．
證明：（2）∵X的所有可能取值為$\frac{1}{n}，\frac{1}{n+1}$，…，$\frac{1}{n+m}$，
P（x=$\frac{1}{k}$）=$\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{m+n}^{n}}$，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）=$\sum_{k=1}^{n+m}$（$\frac{1}{k}•\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{n+m}^{n}}$）=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$
=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$＜$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k-1}$=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-2}^{n-2}}{n-1}$
=$\frac{1}{（n-1）{C}_{n+m}^{n}}$•（${C}_{n-2}^{n-2}+{C}_{n-1}^{n-2}+…+{C}_{n+m-2}^{n-2}$）
=$\frac{1}{（n-1）{C}_{m+n}^{n}}•{C}_{m+n-1}^{n-1}$=$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$，
∴E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．