Question

9．兩非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，且對任意的x∈R，都有|$\overrightarrow{b}$+x$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$|，若|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{c}$|，0＜λ＜1，則$\frac{|\overrightarrow{c}-λ\overrightarrow{a}-（1-λ）\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+1）]．

Answer 1

分析 由向量的平方即為模的平方，化簡整理可得x²$\overrightarrow{a}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²≥0恒成立，可得4（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²-4$\overrightarrow{a}$²•（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²）≤0，（θ為$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角），即有（cosθ-$\frac{1}{2}$）²≤0，可得cosθ=$\frac{1}{2}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=1，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，C在單位圓上運(yùn)動，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$可得P在線段AB上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），求出AB的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得O到AB的距離，即可得到所求最值和范圍．

解答 解：對任意的x∈R，都有|$\overrightarrow{b}$+x$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$|，
即有（$\overrightarrow{b}$+x$\overrightarrow{a}$）²≥（$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$）²，
即為$\overrightarrow{b}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+x²$\overrightarrow{a}$²≥$\overrightarrow{b}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²，
由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得x²$\overrightarrow{a}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²≥0恒成立，
可得4（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²-4$\overrightarrow{a}$²•（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²）≤0，（θ為$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角），
即為|$\overrightarrow{a}$|⁴•cos²θ-|$\overrightarrow{a}$|⁴•cosθ+$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{a}$|⁴≤0，
即有（cosθ-$\frac{1}{2}$）²≤0，（cosθ-$\frac{1}{2}$）²≥0，
可得cosθ=$\frac{1}{2}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=1，
設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，C在單位圓上運(yùn)動，
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$可得P在線段AB上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），
直線AB的方程為y-0=-$\sqrt{3}$（x-2），
即為$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0．
由原點(diǎn)到直線AB的距離為$\frac{|0+0-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
即有單位圓上的點(diǎn)到線段AB的距離的最小值為$\sqrt{3}$-1，最大值為$\sqrt{3}$+1，
則$\frac{|\overrightarrow{c}-λ\overrightarrow{a}-（1-λ）\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP}|}{2}$的范圍是[$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+1）]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+1）]．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)用，注意運(yùn)用性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查恒成立思想轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題的解法，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．