Question

17．已知函數(shù)f（x）=pe^-x+x+1（p∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)p=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)p=1時(shí)，若直線y=mx+1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)p=e時(shí)的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)p≤0時(shí)，②當(dāng)p＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）=e^-x+x+1，直線y=mx+1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程mx+1=e^-x+x+1在（-∞，+∞）上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程（m-1）x=e^-x（*）在（-∞，+∞）上沒有實(shí)數(shù)解．討論當(dāng)m=1，當(dāng)m≠1時(shí)，通過方程的解和構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得值域，即可得到所求m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)p=e時(shí)，f（x）=e^1-x+x+1，
可得導(dǎo)數(shù)f′（x）=-e^1-x+1，
∴f（1）=3，f′（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線方程為y=3；
（Ⅱ）∵f（x）=pe^-x+x+1，∴f′（x）=-pe^-x+1，
①當(dāng)p≤0時(shí)，f′（x）＞0，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②當(dāng)p＞0時(shí)，令f′（x）=0，得e^x=p，解得x=lnp．
則當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，lnp）	lnp	（lnp，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	2+lnp	遞增

所以，當(dāng)p＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 （lnp，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lnp）．
（Ⅲ）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）=e^-x+x+1，直線y=mx+1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，
等價(jià)于關(guān)于x的方程mx+1=e^-x+x+1在（-∞，+∞）上沒有實(shí)數(shù)解，
即關(guān)于x的方程（m-1）x=e^-x（*）在（-∞，+∞）上沒有實(shí)數(shù)解．
①當(dāng)m=1時(shí)，方程（*）化為e^-x=0，
顯然在（-∞，+∞）上沒有實(shí)數(shù)解．
②當(dāng)m≠1時(shí)，方程（*）化為xe^x=$\frac{1}{m-1}$，令g（x）=xe^x，則有g(shù)′（x）=（1+x）e^x．
令g′（x）=0，得x=-1，則當(dāng)x變化時(shí)，g'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	$-\frac{1}{e}$	↗

當(dāng)x=-1時(shí)，$g{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$，同時(shí)當(dāng)x趨于+∞時(shí)，g（x）趨于+∞，
從而g（x）的值域?yàn)?[{-\frac{1}{e}，+∞}）$．
所以當(dāng)$\frac{1}{m-1}$＜-$\frac{1}{e}$時(shí)，方程（*）無實(shí)數(shù)解，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1-e，1）．
綜合①②可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1-e，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．