Question

6．如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中點F，連結EF，CF，推導出EF∥PA，CF∥AB，從而平面EFC∥平面ABP，由此能證明EC∥平面PAB．
（Ⅱ）連結BF，過F作FM⊥PB于M，連結PF，推導出四邊形BCDF為矩形，從而BF⊥AD，進而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．

解答 證明：（Ⅰ）取AD的中點F，連結EF，CF，
∵E為PD的中點，∴EF∥PA，
在四邊形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F為中點，
∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，
∵EC?平面EFC，
∴EC∥平面PAB．
解：（Ⅱ）連結BF，過F作FM⊥PB于M，連結PF，
∵PA=PD，∴PF⊥AD，
推導出四邊形BCDF為矩形，∴BF⊥AD，
∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，
∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，
設DC=CB=1，則AD=PC=2，∴PB=$\sqrt{3}$，
BF=PF=1，∴MF=$\frac{1}{2}$，
又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，
∴MF⊥平面PBC，即點F到平面PBC的距離為$\frac{1}{2}$，
∵MF=$\frac{1}{2}$，D到平面PBC的距離應該和MF平行且相等，為$\frac{1}{2}$，
E為PD中點，E到平面PBC的垂足也為垂足所在線段的中點，即中位線，
∴E到平面PBC的距離為$\frac{1}{4}$，
在$△PCD中，PC=2，CD=1，PD=\sqrt{2}$，
由余弦定理得CE=$\sqrt{2}$，
設直線CE與平面PBC所成角為θ，則sinθ=$\frac{\frac{1}{4}}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．