Question

8．如圖，已知拋物線x²=y，點A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），B（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$），拋物線上的點P（x，y）（-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$），過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．
（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過點P在拋物線上可設P（x，x²），利用斜率公式結合-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$可得結論；
（Ⅱ）通過（I）知P（x，x²）、-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，設直線AP的斜率為k，聯立直線AP、BQ方程可知Q點坐標，進而可用k表示出$\overrightarrow{PQ}$、$\overrightarrow{PA}$，計算可知|PA|•|PQ|=（1+k）³（1-k），通過令f（x）=（1+x）³（1-x），-1＜x＜1，求導結合單調性可得結論．

解答 解：（Ⅰ）由題可知P（x，x²），-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
所以k_AP=$\frac{{x}^{2}-\frac{1}{4}}{x+\frac{1}{2}}$=x-$\frac{1}{2}$∈（-1，1），
故直線AP斜率的取值范圍是：（-1，1）；
（Ⅱ）由（I）知P（x，x²），-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
所以$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{1}{2}$-x，$\frac{1}{4}$-x²），
設直線AP的斜率為k，則AP：y=kx+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{4}$，BQ：y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{3}{2k}$+$\frac{9}{4}$，
聯立直線AP、BQ方程可知Q（$\frac{3+4k-{k}^{2}}{2{k}^{2}+2}$，$\frac{9{k}^{2}+8k+1}{4{k}^{2}+4}$），
故$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{1+k-{k}^{2}-{k}^{3}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{-{k}^{4}-{k}^{3}+{k}^{2}+k}{1+{k}^{2}}$），
又因為$\overrightarrow{PA}$=（-1-k，-k²-k），
故-|PA|•|PQ|=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{（1+k）^{3}（k-1）}{1+{k}^{2}}$+$\frac{{k}^{2}（1+k）^{3}（k-1）}{1+{k}^{2}}$=（1+k）³（k-1），
所以|PA|•|PQ|=（1+k）³（1-k），
令f（x）=（1+x）³（1-x），-1＜x＜1，
則f′（x）=（1+x）²（2-4x）=-2（1+x）²（2x-1），
由于當-1＜x＜$\frac{1}{2}$時f′（x）＞0，當$\frac{1}{2}$＜x＜1時f′（x）＜0，
故f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{27}{16}$，即|PA|•|PQ|的最大值為$\frac{27}{16}$．

點評 本題考查圓錐曲線的最值問題，考查運算求解能力，考查函數思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．