Question

17．已知函數f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，1]．
（1）求f（x）的極值點；
（2）證明：f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求導，令f′（x）=0，利用導數求得函數的單調性區間，根據函數單調性與函數極值的關系，即可求得f（x）的極值點；
（2）由g（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$在（0，1]單調遞增，即可求得g（x）的最大值，由（1）求得f（x）的最小值，即可求得f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）由f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，求導，f′（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$，
由當x∈（0，$\frac{1}{\root{3}{2}}$]時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（$\frac{1}{\root{3}{2}}$，1]時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴當x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$時，f（x）取極小值，極小值為：f（$\frac{1}{\root{3}{2}}$）=${2}^{-\frac{2}{3}}$+${2}^{\frac{1}{3}}$，
f（x）的極值點x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$；
（2）證明：設g（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$＞0，
則g（x）在（0，1]單調遞增，則g（x）_max=$\frac{7}{4}$，
由（1）可知：f（x）在（0，1）上的最小值為：f（$\frac{1}{\root{3}{2}}$）=${2}^{-\frac{2}{3}}$+${2}^{\frac{1}{3}}$＞$\frac{7}{4}$，
∴x∈（0，1]，f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查導數的綜合應用，利用導數求函數的單調性及極值，考查不等式的證明，考查計算能力，屬于中檔題．