Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[b₁+b₂+…+b₈]的值為（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． 2
• D． 8

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}是增數(shù)列，且 a_n+1=a_n²+a_n=a_n（1+a_n），得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，從而 b₁+b₂+…+b₈=$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{8}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{9}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，由此能求出[b₁+b₂+…+b₈]

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴數(shù)列{a_n}是增數(shù)列，且 $\frac{1}{{a}_{n}}$＞0，
∵a_n+1=a_n²+a_n=a_n（1+a_n），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，從而 b₁+b₂+…+b₈=$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{8}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{9}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
a₁=1，a₂=2，a₃=6，＞1，
∴b₁+b₂+…+b₈∈（0，1），
∴[b₁+b₂+…+b₈]=0．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．