Question

20．已知函數f（x）=x（m+e^-x），其中e為自然對數的底數，曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （0，e^-2）
• B． （e^-2，+∞）
• C． （0，e²）
• D． （e²，+∞）

Answer 1

分析 轉化條件為函數有兩個極值，通過導函數為0，推出m的表達式，轉化兩個函數的圖象由兩個交點，利用導函數的單調性，求出函數的值域，轉化求解m的范圍即可．

解答 解：曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，等價于函數f（x）由兩個不同極值，即f′（x）=0有兩個不相同的實數根，令f′（x）=m+e^-x-xe^-x=0，可得m=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，令g（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，則條件轉化為直線y=m與y=g（x）有兩個不同交點，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x-1）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
當x=2時，g′（x）=0，
當x＞2時，g′（x）＜0，g（x）是增函數；
當x＜2時，g′（x）＞0，g（x）是減函數；
所以x=2時，函數有極大值也是最大值，g（2）=e^-2，x→-∞時，g（x）→-∞，x→+∞時，g（x）→0，
從而m∈（0，e^-2）．
故選：A．

點評 本題考查函數的單調性以及函數的極值的關系，考查轉化思想以及分析問題解決問題的能力．