Question

18．已知函數f（x）=|cosx|•sinx，給出下列四個說法：
①$f（\frac{2014π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；
②函數f（x）的周期為π；
③f（x）在區間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調遞增；
④f（x）的圖象關于點$（-\frac{π}{2}，0）$中心對稱
其中正確說法的序號是（　　）

• A． ②③
• B． ①③
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①計算f（$\frac{2014π}{3}$）的值即可；
②計算f（$\frac{π}{4}$）與f（$\frac{5π}{4}$）的值，由$f（\frac{π}{4}）≠f（\frac{5π}{4}）$判斷②錯誤；
③$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，f（x）是單調增函數；
④計算f（-$\frac{π}{4}$）與f（-$\frac{3π}{4}$）的值，由$f（-\frac{π}{4}）≠-f（-\frac{3π}{4}）$判斷④錯誤．

解答 解：對于①，f（$\frac{2014π}{3}$）=f（671π+$\frac{π}{3}$）=-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，正確；
對于②，因為f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{5π}{4}$）=-cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
$f（\frac{π}{4}）≠f（\frac{5π}{4}）$，所以②錯誤；
對于③，當$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時，$f（x）=|cosx|•sinx=\frac{1}{2}sin2x$，
f（x）在區間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調遞增，正確；
對于④，f（-$\frac{π}{4}$）=-cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
f（-$\frac{3π}{4}$）=-cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
則$f（-\frac{π}{4}）≠-f（-\frac{3π}{4}）$，
所以f（x）的圖象關于點$（-\frac{π}{2}，0）$中心對稱，錯誤；
綜上，正確的命題序號是①③．
故選：B．

點評 本題主要考查了三角函數的單調性、奇偶性和對稱性的應用問題，是綜合題．