Question

3．如圖，正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中點．
（I）求證：EM⊥AD；
（II）求二面角A-BE-C的余弦值；
（III）在線段EC上是否存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°，若存在，求出$\frac{EP}{EC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出EM⊥AB，從而EM⊥平面ABCD，由此能證明EM⊥AD．
（Ⅱ）推導出EM⊥MC，MC⊥AB，從而MB、MC、ME兩兩垂直，建立空間直角坐標系M-xyz，利用向量法能求出二面角A-BE-C的余弦值．
（III）求出$\overrightarrow{AP}$和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°，且$\frac{EP}{EC}$=$\frac{2}{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中點，∴EM⊥AB，（1分）
∵平面ABE⊥平面ABCD，（2分）
平面ABE∩平面ABCD=AB，EA?平面ABE，
∴EM⊥平面ABCD，（3分）AD?平面ABCD，
∴EM⊥AD．（4分）
解：（Ⅱ）∵EM⊥平面ABCD，∴EM⊥MC，∵△ABC是正三角形，
∴MC⊥AB．∴MB、MC、ME兩兩垂直．
建立如圖所示空間直角坐標系M-xyz．（5分）
則M（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面BCE的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，1$），（7分）
∵y軸與平面ABE垂直，∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ABE的一個法向量．（8分）
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}×1}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，（9分）
∴二面角A-BE-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．（10分）
（III）假設在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°．
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{3}，-\sqrt{3}$），
設$\overrightarrow{EP}$=$λ\overrightarrow{EC}$=（0$\sqrt{3}λ$，-$\sqrt{3}λ$），（00≤λ≤1），
則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}=（1，\sqrt{3}λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$，（11分）
∵直線AP與平面ABE所成的角為45°，
∴sin45°=|cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\sqrt{3}λ|}{\sqrt{1+3{λ}^{2}+3-6λ+3{λ}^{2}}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0≤λ≤1，解得$λ=\frac{2}{3}$，（13分）
∴在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°，且$\frac{EP}{EC}$=$\frac{2}{3}$．（14分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．