Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}{（{x+1}）^2}$．
（1）證明：f（x）+|f（x）-2|≥2；
（2）當x≠-1時，求y=$\frac{1}{4f（x）}+{[{f（x）}]^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過絕對值不等式放縮可得結論；
（2）通過當x≠-1時f（x）=$\frac{1}{4}{（{x+1}）^2}$＞0，利用基本不等式的推廣放縮可得結論．

解答 （1）證明：因為f（x）=$\frac{1}{4}{（{x+1}）^2}$≥0，
所以f（x）+|f（x）-2|=|f（x）|+|2-f（x）|≥|f（x）+2-f（x）|=2，
當且僅當f（x）[2-f（x）]≥0即0≤f（x）≤2即-1-2$\sqrt{2}$≤x≤-1+2$\sqrt{2}$時取等號；
（2）解：當x≠-1時，f（x）=$\frac{1}{4}{（{x+1}）^2}$＞0，
所以y=$\frac{1}{4f（x）}+{[{f（x）}]^2}$=$\frac{1}{8f（x）}$+$\frac{1}{8f（x）}$+[f（x）]²≥3•$\root{3}{\frac{1}{8f（x）}•\frac{1}{8f（x）}•[f（x）]^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
當且僅當$\frac{1}{8f（x）}$=$\frac{1}{8f（x）}$=[f（x）]²即x=-1±$\sqrt{2}$時取等號，
所以所求最小值為$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查絕對值不等式，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．