Question

12．已知x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-3≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，若x²+y²的最大值為m，最小值為n，則mx+ny的最小值為22．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及直線的截距的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
x²+y²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
由圖象知O到直線x+y-3=0的距離最小，
此時d=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
則d²=$\frac{9}{2}$，即n=$\frac{9}{2}$，
OA的距離最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
則m=2²+3²=4+9=13，
則設(shè)z=mx+ny=13x+$\frac{9}{2}$y，
即y=-$\frac{26}{9}$x+$\frac{2}{9}$z，
平移直線y=-$\frac{26}{9}$x+$\frac{2}{9}$z，
由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時，直線的截距最小，此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
此時z=13×1+$\frac{9}{2}$×2=13+9=22，
故答案為：22．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出距離的最小值和最大值，以及利用直線的截距的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．