Question

2．已知y²=4x拋物線，焦點記為F，過點F作直線l交拋物線于A，B兩點，則$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$的最小值為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}-2$
• B． $\frac{5}{6}$
• C． $3-\frac{3}{2}\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}-2$

Answer 1

分析 設直線AB的方程，代入拋物線方程，根據韋達定理及拋物線的焦半徑公式，求得$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+1}{{x}_{1}+1}$，x₁＞0，根據函數的單調性，即可求得答案．

解答 解：由題意知，拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），
當斜率k存在時，設直線AB的方程為y=k（x-1），設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
則 x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，則x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
根據拋物線性質可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$=（x₁+1）-$\frac{2}{{x}_{2}+1}$=（x₁+1）-$\frac{2{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+1}{{x}_{1}+1}$，x₁＞0，
設f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$，x＞0，求導f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{（x+1）^{2}}$，令f′（x）=0，則x²+2x-1=0，解得：x=$\sqrt{2}$-1，
當x∈（0，$\sqrt{2}$-1），f′（x）＜0，當x∈（$\sqrt{2}$-1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\sqrt{2}$-1）單調遞減，在（$\sqrt{2}$-1，+∞）單調遞增，
∴當x=$\sqrt{2}$-1，f（x）取最小值，最小值為2$\sqrt{2}$-2，
∴$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$最小值為2$\sqrt{2}$-2，
故選：A．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，考查函數單調性與圓錐曲線的應用，考查計算能力，屬于中檔題．