Question

11．某廠每日生產一種大型產品2件，每件產品的投入成本為1000元．產品質量為一等品的概率為0.5，二等品的概率為0.4，每件一等品的出廠價為5000元，每件二等品的出廠價為4000元，若產品質量不能達到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生產1件產品還會帶來1000元的損失．
（Ⅰ）求在連續生產的3天中，恰有兩天生產的2件產品都為一等品的概率；
（Ⅱ）已知該廠某日生產的這種大型產品2件中有1件為一等品，求另1件也為一等品的概率；
（Ⅲ）求該廠每日生產這種產品所獲利潤ξ（元）的分布列和期望．

Answer 1

分析 （I）利用相互獨立事件的概率公式計算；
（II）使用條件概率公式計算；
（III）列出ξ所有可能的取值及對應的概率，再計算數學期望．

解答 解：（I）設一天生產的2件產品都為一等品為事件A，則P（A）=0.5²=0.25，
∴在連續生產的3天中，恰有兩天生產的2件產品都為一等品的概率P=0.25×0.25×0.75×${C}_{3}^{2}$=$\frac{9}{64}$．
 （II）設一天中生產的2件產品中，有一件是一等品為事件B，另一件是一等品為事件C，
則P（BC）=P（A）=0.25，P（B）=0.5×0.5+0.5×0.4×2+0.5×0.1×2=0.75，
∴該廠某日生產的這種大型產品2件中有1件為一等品，另1件也為一等品的概率為P（C|B）=$\frac{P（BC）}{P（B）}$=$\frac{1}{3}$
（III）ξ的可能取值為8000，7000，6000，2000，1000，-4000，
ξ的分布列為：

ξ	8000	7000	6000	2000	1000	-4000
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{25}$	$\frac{1}{100}$

E（ξ）=8000×$\frac{1}{4}$+7000×$\frac{2}{5}$+6000×$\frac{4}{25}$+2000×$\frac{1}{10}$+1000×$\frac{2}{25}$+（-4000）×$\frac{1}{100}$=6000．

點評 本題考查了相互獨立事件的概率計算，條件概率，分布列與數學期望，屬于中檔題．