Question

16．（x²+2x-1）⁵的展開式中，x³的系數為40（用數字作答）

Answer 1

分析 先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數等于3，求得r、r′的值，從而求得x³項的系數．

解答 解：式子（x²+2x-1）⁵ =[（x²+2x）-1]⁵展開式的通項公式為：
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x²+2x）^5-r•（-1）^r，
對于（x²+2x）^5-r，它的通項公式為：
T_r′+1=2^r′•${C}_{5-r}^{r′}$•x^10-2r-r′，
其中0≤r′≤5-r，0≤r≤5，r、r′都是自然數；
令10-2r-r′=3，可得$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{r′=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=3}\\{r′=1}\end{array}\right.$，
所以x³項的系數為：
${C}_{5}^{2}$•2³•${C}_{3}^{3}$-${C}_{5}^{3}$•2•${C}_{2}^{1}$=40．
故答案為：40．

點評 本題主要考查了二項式定理以及二項式展開式的通項公式應用問題，是中檔題．