Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠BAD=120°，AB=AD=2，△BCD是等邊三角形，E是BP中點，AC與BD交于點O，且OP⊥平面ABCD．
（1）求證：PD∥平面ACE；
（2）當OP=1時，求直線PA與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出△ABC≌△ACD，O是BD中點，連結OE，則OE∥PD，由此能證明PD∥面ACE．
（2）由BD⊥AC，PO⊥面ABCD，以O為原點，OB，OC，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PA與平面ACE所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，∠BAD=120°，AB=AD=2，△BCD是等邊三角形，
∴△ABC≌△ACD，
∵E是BP中點，AC與BD交于點O，∴O是BD中點，
連結OE，則OE∥PD，
∵PD?面ACE，OE?面ACE，∴PD∥面ACE．
解：（2）∵BD⊥AC，PO⊥面ABCD，
以O為原點，OB，OC，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，1），A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，3，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{EA}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，3，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PA}$=（0，-1，-1），
設平面ACE的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=\sqrt{3}x+2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=\sqrt{3}x-6y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
設直線PA與平面ACE所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴直線PA與平面ACE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．