Question

15．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₉＞0，S₁₀＜0，則$\frac{2}{a_1}，\frac{2^2}{a_2}，\frac{2^3}{a_3}，…，\frac{2^9}{a_9}$中最大的是$\frac{2^5}{a_5}$．

Answer 1

分析 根據題意，若S₉＞0，S₁₀＜0，由等差數列的性質分析可得a₅＞0，a₆＜0，進而可得等差數列{a_n}中有a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞0＞a₆＞a₇＞a₈＞a₉，則有0＜$\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$＜$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{2}^{3}}{{a}_{3}}$＜$\frac{{2}^{4}}{{a}_{4}}$＜$\frac{{2}^{5}}{{a}_{5}}$，當n≥6時，$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$＜0，解可得答案．

解答 解：根據題意，等差數列{a_n}中，
若S₉＞0，則有S₉=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{9}）×9}{2}$=9a₅＞0，則有a₅＞0，
若S₁₀＜0，則有s₁₀=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{10}）}{2}$×10=（a₅+a₆）×5＜0，則有a₅+a₆＜0，
則有a₅＞0，a₆＜0，
則等差數列{a_n}為遞減數列，則有a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞0＞a₆＞a₇＞a₈＞a₉，
則有數列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}中，當n≤5時，有0＜$\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$＜$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{2}^{3}}{{a}_{3}}$＜$\frac{{2}^{4}}{{a}_{4}}$＜$\frac{{2}^{5}}{{a}_{5}}$，
當n≥6時，$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$＜0，
故則$\frac{2}{a_1}，\frac{2^2}{a_2}，\frac{2^3}{a_3}，…，\frac{2^9}{a_9}$中最大的是$\frac{{2}^{5}}{{a}_{5}}$，
故答案為：$\frac{{2}^{5}}{{a}_{5}}$．

點評 本題考查等差數列前n項和的性質，關鍵是分析得到數列{a_n}為遞減數列．