Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2aln x+（a-2）x，a∈R．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）令g（x）=f（x）-ax=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2aln x+（a-2）x，定義域是（0，+∞），
所以f′（x）=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，（x＞0），
當a=1時，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，所以f′（1）=-2，
則所求切線方程為y-f（1）=-2（x-1），即4x+2y-3=0；
（2）假設存在這樣的實數(shù)a滿足條件，不妨設0＜x₁＜x₂，
由$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞a，知f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，
令g（x）=f（x）-ax=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則g′（x）=x-$\frac{2a}{x}$-2≥0，即2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立，
則a≤-$\frac{1}{2}$，故存在這樣的實數(shù)a滿足題意，
其取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．