Question

16．函數f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有極值的充要條件是a＜0或a＞1．

Answer 1

分析 通過f（x）有零點可知f′（x）=ax²+2ax+1=0有解，分a=0、a≠0兩種情況討論即可．

解答 解：因為f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1，x∈R，
所以f′（x）=ax²+2ax+1，
因為f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有極值，
所以f′（x）=0有解，即ax²+2ax+1=0有解．
（1）當a=0時，顯然不滿足題意；
（2）當a≠0時，要使一元二次方程ax²+2ax+1=0有解，
只需△=4a²-4a≥0，即a≤0或a≥1．
又因為當a=0或a=1時f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1沒有極值，
所以函數f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有極值的充要條件是a＜0或a＞1，
故答案為：a＜0或a＞1．

點評 本題考查利用導數研究函數的極值，考查極值點與導數為零的點之間的關系，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．