Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，對任意x∈R，有|$\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，則|t$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|+|t$\overrightarrow{b}$-$\frac{\overrightarrow{a}}{2}$|（t∈R）的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 由題意對任意x∈R，有|$\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，兩邊平方整理．由判別式小于等于0，可得（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，運用數量積的定義可得即有|$\overrightarrow{a}$|=1，畫出$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，建立平面直角坐標系，設出A，B的坐標，求得|t$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|+|t$\overrightarrow{b}$-$\frac{\overrightarrow{a}}{2}$|的坐標表示，運用配方和兩點的距離公式，結合三點共線，即可得到所求最小值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夾角為$\frac{π}{3}$，對任意x∈R，有|$\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，兩邊平方整理可得x² ${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-（${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）≥0，
則△=4${（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）}^{2}$+4${\overrightarrow{a}}^{2}$（${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）≤0，
即有${{（\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）}^{2}$≤0，即${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即為（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$．
由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，可得 ${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos$\frac{π}{3}$=|$\overrightarrow{a}$|•1，∴|$\overrightarrow{a}$|=1．
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{\sqrt{1+4-2}}$=$\sqrt{3}$．
設$\overrightarrow{OA}$=-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，建立平面直角坐標系，如圖所示；
則A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴-$\overrightarrow{a}$=（-1，0），$\overrightarrow{b}$=（-1，$\sqrt{3}$）；
則|t$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|+|t$\overrightarrow{b}$-$\frac{\overrightarrow{a}}{2}$|=$\sqrt{{（1-t）}^{2}{+（\sqrt{3}t）}^{2}}$+$\sqrt{{（\frac{1}{2}-t）}^{2}{+（\sqrt{3}t）}^{2}}$=2（ $\sqrt{{（t-\frac{1}{4}）}^{2}{+（0-\frac{\sqrt{3}}{4}）}^{2}}$+$\sqrt{{（t-\frac{1}{8}）}^{2}{+（0+\frac{\sqrt{3}}{8}）}^{2}}$），
它表示點P（t，0）與點M（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）、N（$\frac{1}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{8}$）的距離之和，故當P與M、N共線時，
則|t$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|+|t$\overrightarrow{b}$-$\frac{\overrightarrow{a}}{2}$|的最小值是2MN=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查斜率的數量積的定義和性質，主要是向量的平方即為模的平方，考查轉化思想和三點共線取得最小值，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．