Question

4．若等式$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\frac{3m+1}{4}$能夠成立，則m的取值范圍是[-3，$\frac{7}{3}$]．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡$\sqrt{3}$sinα+cosα，根據正弦函數的有界性得出關于m的不等式組，求出解集即可．

解答 解：$\sqrt{3}$sinα+cosα=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα）
=2sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3m+1}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3m+1}{8}$，
由題意，-1≤$\frac{3m+1}{8}$≤1，
∴-8≤3m+1≤8，
∴-9≤3m≤7，
解得-3≤m≤$\frac{7}{3}$，
∴m的取值范圍是[-3，$\frac{7}{3}$]．
故答案為：[-3，$\frac{7}{3}$]．

點評 本題考查了三角恒等變換以及正弦函數的有界性和不等式的解法問題，是基礎題．