Question

13．已知函數f（x）=ax-x²-lnx存在極值，若這些極值的和大于5+ln2，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，4）
• B． （4，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求函數f（x）的定義域，求出f′（x），利用導數和極值之間的關系將條件轉化：f′（x）=0在（0，+∞）上有根，即即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，根據二次方程根的分布問題列出方程組，根據條件列出關于a的不等式，求出a的范圍．

解答 解：f（x）=ax-x²-lnx，x∈（0，+∞），
則f′（x）=a-2x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$，
∵函數f（x）存在極值，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，∴△=a²-8≥0，
顯然當△=0時，F（x）無極值，不合題意；
∴方程必有兩個不等正根，記方程2x²-ax+1=0的兩根為x₁，x₂，x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{2}$，
f（x₁），f（x₂）是函數F（x）的兩個極值，
由題意得，f（x₁）+f（x₂）=a（x₁+x₂）-（x₁²+x₂²）-（lnx₁+lnx₂）
=$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-ln$\frac{1}{2}$＞5-ln$\frac{1}{2}$，
化簡解得，a²＞16，滿足△＞0，
又x₁+x₂=$\frac{a}{2}$＞0，即a＞0，
∴∴a的取值范圍是（4，+∞），
故選：B．

點評 本題考查導數與函數的單調性、極值的關系，以及二次方程根的分布問題，考查轉化思想，化簡、變形能力，綜合性大、難度大，屬于中檔題．