Question

15．為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30min從該生產線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

經計算得 $\overline{x}$=$\frac{1}{16}$$\sum_{i=1}^{16}$x_i=9.97，s=$\sqrt{\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}（\sum_{i=1}^{16}{{x}_{i}}^{2}-16{\overline{x}}^{2}）$≈0.212，$\sqrt{\sum_{i=1}^{16}（i-8.5）^{2}}$≈18.439，$\sum_{i=1}^{16}$（x_i-$\overline{x}$）（i-8.5）=-2.78，其中x_i為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16．
（1）求（x_i，i）（i=1，2，…，16）的相關系數r，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小（若|r|＜0.25，則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小）．
（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（$\overline{x}$-3s，$\overline{x}$+3s）之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．
（ⅰ）從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？
（ⅱ）在（$\overline{x}$-3s，$\overline{x}$+3s）之外的數據稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差．（精確到0.01）
附：樣本（x_i，y_i）（i=1，2，…，n）的相關系數r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，$\sqrt{0.008}$≈0.09．

Answer 1

分析 （1）代入數據計算，比較|r|與0.25的大小作出結論；
（2）（i）計算合格零件尺寸范圍，得出結論；
（ii）代入公式計算即可．

解答 解：（1）r=$\frac{\sum_{i=1}^{16}（{x}_{i}-\overline{x}）（i-8.5）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{16}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{16}（i-8.5）^{2}}}$=$\frac{-2.78}{0.212×\sqrt{16}×18.439}$=-0.18．
∵|r|＜0.25，∴可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小．
（2）（i）$\overline{x}$=9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范圍是（9.334，10，606），
顯然第13號零件尺寸不在此范圍之內，
∴需要對當天的生產過程進行檢查．
（ii）剔除離群值后，剩下的數據平均值為$\frac{1}{15}（16×9.97-9.22）$=10.02，
$\sum_{i=1}^{16}{{x}_{i}}^{2}$=16×0.212²+16×9.97²=1591.134，
∴剔除離群值后樣本方差為$\frac{1}{15}$（1591.134-9.22²-15×10.02²）=0.008，
∴剔除離群值后樣本標準差為$\sqrt{0.008}$≈0.09．

點評 本題考查了相關系數的計算，樣本均值與標準差的計算，屬于中檔題．