Question

3．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1有公共焦點，則C的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標，得到雙曲線的焦點坐標，利用雙曲線的漸近線方程，求出雙曲線實半軸與虛半軸的長，即可得到雙曲線方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦點坐標（±3，0），
則雙曲線的焦點坐標為（±3，0），可得c=3，
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
可得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，解得a=2，b=$\sqrt{5}$，
所求的雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故選：B．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，考查計算能力．