Question

9．函數f（x）若在定義域內存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則稱x₀為函數f（x）的局部對稱點．
（Ⅰ）若a，b，c∈R，證明函數f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部對稱點；
（Ⅱ）是否存在常數m，使得定義在區間[-1，1]上的函數f（x）=2^x+m有局部對稱點？若存在，求出m的范圍，否則說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據局部對稱點的定義進行證明即可．
（Ⅱ）結合局部對稱點的定義，結合指數函數的性質進行判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：由f（x）=ax³+bx²+cx-b得f（-x）=-ax³+bx²-cx-b，
由f（-x）=-f（x） 得到關于x的方程2bx²-2b=0，…（1分）
當b≠0時，x=±1；當b=0，x∈R等式恒成立，
所以函數f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部對稱點；…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）=2^x+m，∴f（-x）=2 ^-x+m
由f（-x）=-f（x） 得到關于x的方程2^x+2^-x+2m=0，…（6分）
因為f（x）的定義域為[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（8分）
令t=2^x∈$[\frac{1}{2}，2]$，則$-2m=t+\frac{1}{t}∈[2，\frac{5}{2}]$，解得$m∈[-\frac{5}{4}，-1]$．…（12分）

點評 本題主要考查函數與方程的應用，根據局部對稱點的定義建立方程關系是解決本題的關鍵．