Question

3．下列說法錯誤的是：（1）、（2）、（3）．
（1）已知函數y=sinωx的最小正周期為2π，則ω=1；
（2）在平面直角坐標系xOy中，O（0，0），B（1，0），C（0，2$\sqrt{2}$），用斜二測畫法把△OBC畫在對應的x′O′y′中時，B′C′的長是1；
（3）已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=13，|b-5a|≤12，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影的取值范圍是[$\frac{5}{13}$，+∞）；
（4）f（x）=e^x•sinx（-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{11π}{4}$）的極大值點為$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據函數y=sinωx的最小正周期求出ω的值；
（2）根據斜二測畫法法則，求出B′C′的值有2個；
（3）根據投影的定義求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影取值范圍即可；
（4）利用導數求出f（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{4}$]上的極大值點即可．

解答 解：對于（1），函數y=sinωx的最小正周期為2π時，|ω|=$\frac{2π}{T}$=1，
∴ω=±1，命題錯誤；
對于（2），O（0，0），B（1，0），C（0，2$\sqrt{2}$），
用斜二測畫法把△OBC畫在對應的x′O′y′中時，
B′C′=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}-2×1×\sqrt{2}×cos45°}$=1，
或B′C′=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}-2×1×\sqrt{2}×cos135°}$=$\sqrt{5}$，命題錯誤；
對于（3），|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=13，|$\overrightarrow$-5$\overrightarrow{a}$|≤12，
∴${|\overrightarrow-5\overrightarrow{a}|}^{2}$≤144，
即169-10$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+25≤144，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≥5，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影是$\overrightarrow{a}$•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$≥$\frac{5}{13}$；
又cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤1，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影取值范圍是[$\frac{5}{13}$，1]，命題錯誤；
對于（4），f（x）=e^x•sinx，∴f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），
令f′（x）=0，解得x=-$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$或$\frac{7π}{4}$或$\frac{11π}{4}$；
當x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調增，
x∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$）時，f′（x）＜0，f（x）單調減，
x∈（$\frac{7π}{4}$，$\frac{11π}{4}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調增，
∴f（x）的極大值點是$\frac{3π}{4}$，命題正確；
綜上，錯誤的命題是（1）、（2）、（3）．
故答案為：（1）、（2）、（3）．

點評 本題考查了向量的模長與向量的投影以及三角函數圖象與性質和利用導數研究函數的極值問題，是綜合題．