Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，且三角形PF₁F₂的面積最大值為$\sqrt{3}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M，N為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù)m，使$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=m時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，求這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，則a=2c，當(dāng)P位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積最大，在bc=$\sqrt{3}$及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程，代入橢圓方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，要使7×$\frac{^{2}}{{k}^{2}+1}$=12+$\frac{m（4{k}^{2}+3）}{{k}^{2}+1}$，為常數(shù)，則m=0，d=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，d=丨x丨=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，亦成立．

解答 解：（1）由題意可知橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
當(dāng)P位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積最大，即$\frac{1}{2}$×2c×b=$\sqrt{3}$，bc=$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，則a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=m，
當(dāng)直線MN到斜率存在時(shí)，設(shè)其方程：y=kx+b，
則點(diǎn)O到直線MN的距離d=$\frac{丨b丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
由△＞0，整理得：4k²-b²+3＞0，
由x₁+x₂=-$\frac{8kb}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
則x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=m，
整理得：7×$\frac{^{2}}{{k}^{2}+1}$=12+$\frac{m（4{k}^{2}+3）}{{k}^{2}+1}$，為常數(shù)，則m=0，d=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
此時(shí)7×$\frac{^{2}}{{k}^{2}+1}$=12，滿足△＞0，
當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，m=0，整理得k_OM=±1，
$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=±x}\end{array}\right.$，則x²=$\frac{12}{7}$，
則d=丨x丨=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，亦成立，
綜上可知：m=0，d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查分類討論思想，屬于中檔題．