Question

6．設θ是兩個非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角，若對任意實數t，|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|的最小值為1，則下列判斷正確的是（　　）

• A． 若|$\overrightarrow{a}$|確定，則θ唯一確定
• B． 若|$\overrightarrow{b}$|確定，則θ唯一確定
• C． 若θ確定，則|$\overrightarrow{b}$|唯一確定
• D． 若θ確定，則|$\overrightarrow{a}$|唯一確定

Answer 1

分析 令g（t）=$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}{t}^{2}$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$，可得△≤0，恒成立．當且僅當t=-$\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{2{\overrightarrow{b}}^{2}}$=-$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$時，g（t）取得最小值1，代入即可得出．

解答 解：令g（t）=$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}{t}^{2}$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴△=4$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}$-4${\overrightarrow{b}}^{2}×{\overrightarrow{a}}^{2}$≤0，恒成立．
當且僅當t=-$\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{2{\overrightarrow{b}}^{2}}$=-$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$時，g（t）取得最小值1，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}×\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}co{s}^{2}θ}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$×$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，
化為：${\overrightarrow{a}}^{2}$sin²θ=1．
∴θ確定，則|$\overrightarrow{a}$|唯一確定．
故選：D．

點評 本題考查了向量數量積運算性質、二次函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．