Question

16．已知函數f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，在區間[-2，2]有最小值-3
（1）求實數a的值，
（2）求函數的最大值．

Answer 1

分析 （1）函數f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，對稱軸為x=-a，對稱軸進行分區間討論，找出f（x）最小值時x的取值；
（2）由（1）知要使得f（x）最小值為3，對稱軸須在[-2，2]內，再分別求出最大值；

解答 解：函數f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，對稱軸為x=-a；
（1）①當-a≤-2時，即a≥2：f（x）_min=f（2）=-3⇒a=1，故舍去；
②當-a≥2時，即a≤-2：f（x）_min=f（-2）=-3⇒a=-$\frac{1}{3}$，故舍去；
③當-2＜-a≤0時，即：0≤a＜2：f（x）_min=f（2）=-3⇒a=1，滿足題意；
④當0＜-a≤2時，即：-2≤a＜0：f（x）_min=f（-2）⇒a=-$\frac{1}{3}$，滿足題意；
綜上，函數f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，在區間[-2，2]有最小值-3時，a=1或-$\frac{1}{3}$；
（2）當-2＜-a≤0時，a=1，所以f（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+1，f（x）_max=f（-a）=f（-1）=$\frac{3}{2}$；
當0＜-a≤2時，a=$-\frac{1}{3}$，所以f（x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}x$-$\frac{1}{3}$，f（x）_max=f（-a）=f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{5}{18}$；

點評 本題主要考查了二次函數的圖形特征，以及分類討論思想的應用，屬中等題．