Question

16．在橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，F₁，F₂為橢圓的左右焦點，P是直線x=4上的一個動點．則∠F₁PF₂取得最大值時線段OP的長為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 在橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，如圖所示，設P（4，t），不妨設t≥0，t=0時，∠F₁PF₂=0．t＞0時，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{t}{4+\sqrt{3}}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{t}{4-\sqrt{3}}$．∠F₁PF₂為銳角．tan∠F₁PF₂=$\frac{|{k}_{P{F}_{1}}-{k}_{P{F}_{2}}|}{1+{k}_{P{F}_{1}}{k}_{P{F}_{2}}|}$，代入利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：在橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，c=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$．
∴F₁$（-\sqrt{3}，0）$，F₂$（\sqrt{3}，0）$．
如圖所示，設P（4，t），
不妨設t≥0，t=0時，∠F₁PF₂=0．
t＞0時，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{t}{4+\sqrt{3}}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{t}{4-\sqrt{3}}$．
∵∠F₁PF₂為銳角．
tan∠F₁PF₂=$\frac{|{k}_{P{F}_{1}}-{k}_{P{F}_{2}}|}{1+{k}_{P{F}_{1}}{k}_{P{F}_{2}}|}$=$\frac{\frac{t}{4-\sqrt{3}}-\frac{t}{4+\sqrt{3}}}{1+\frac{t}{4-\sqrt{3}}×\frac{t}{4+\sqrt{3}}}$=$\frac{2\sqrt{3}t}{1+{t}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=$\sqrt{3}$，
當且僅當t=1時取等號，tan∠F₁PF₂取到最大值，
此時∠F₁PF₂最大，故∠F₁PF₂的最大值為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線夾角公式、斜率計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．