Question

6．已知x＞0，y＞0，若不等式$\frac{x+2y}{xy}$≥$\frac{k}{2x+y}$恒成立，則實數k的最大值為9．

Answer 1

分析 由已知不等式分離變量k，得k≤$\frac{（x+2y）（2x+y）}{xy}$=5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$，然后利用基本不等式求得k的最大值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，不等式$\frac{x+2y}{xy}$≥$\frac{k}{2x+y}$恒成立等價于k≤$\frac{（x+2y）（2x+y）}{xy}$=5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$，
5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$≥5+2$\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{2y}{x}}$=9，當且僅當$\frac{2x}{y}=\frac{2y}{x}$，即x=y時“=”成立．
∴k≤9．
故答案為：9

點評 本題考查了恒成立問題，體現了分離變量法，涉及了利用基本不等式求最值，是中檔題．