Question

15．已知直線l₁：x-2y+3=0與直線l₂：2x+3y-8=0的交點為M，
（1）求過點M且到點P（0，4）的距離為2的直線l的方程；
（2）求過點M且與直線l₃：x+3y+1=0平行的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）先求兩條直線的交點，設出直線方程，利用點到直線的距離，求出k，從而確定直線方程．
（2）已知直線的斜率，利用點斜式方程求解即可．

解答 解　（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{2x+3y-8=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$
∴l₁，l₂的交點M為（1，2），
設所求直線方程為y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
∵P（0，4）到直線的距離為2，
∴2=$\frac{|-2-k|}{\sqrt{1+k2}}$，
解得k=0或$\frac{4}{3}$．
∴直線方程為y=2或4x-3y+2=0；
（2）過點（1，2）且與x+3y+1=0平行的直線的斜率為：-$\frac{1}{3}$，
所求的直線方程為：y-2=-$\frac{1}{3}$（x-1），即3y+x-7=0．

點評 本題考查兩條直線的交點坐標，直線的一般式方程，點到直線的距離公式，考查計算能力，是基礎題．